Hoe om `n apolloniese pakking te skep

`N Apolloniese pakking is `n soort van fraktal beeld wat gevorm word uit `n versameling van immerkrimpende sirkels wat binne `n enkele groot sirkel vervat is. Elke sirkel in die Apolloniese pakking is tangent na die aangrensende kringe - met ander woorde, die sirkels in die Apolloniese pakking maak kontak by oneindig klein punte. Aangewys vir die Griekse wiskundige Apollonius van Perga, kan hierdie tipe fraktale getrek word (met die hand of per rekenaar) tot redelike mate van kompleksiteit, wat `n pragtige, treffende beeld vorm. Sien stap 1 hieronder om te begin.

Stappe

Deel 1 van 2:
Verstaan ​​sleutelkonsepte

Om perfek duidelik te wees, as jy eenvoudig belangstel tekening `N Apolloniese pakking, dit is nie noodsaaklik om die wiskundebeginsels agter die fraktale te ondersoek nie. As jy egter `n dieper begrip van Apolloniese gaskets wil hê, is dit belangrik om die definisies van verskeie begrippe wat ons sal gebruik wanneer hulle dit bespreek, te verstaan.

  1. Beeld getiteld Skep `n Apollonian Gasket Stap 1
1. Definieer sleutelterme. Die volgende terme word in die onderstaande instruksies gebruik:
  • Apollonian Gasket: Een van verskeie name vir `n soort fraktale wat bestaan ​​uit `n reeks sirkels wat binne een groot sirkel en raaklyn aan alle ander naby is. Dit word ook genoem "Soddy sirkels" of "Soen sirkels".
  • Radius van `n sirkel: die afstand van die middelpunt van `n sirkel na sy rand. Gewoonlik toegeken die veranderlike r.
  • Kromming van `n sirkel: die positiewe of negatiewe inverse van die radius of ± 1 / r. Kromming is positief wanneer die kromming van die sirkel en negatief vir die innerlike kromming hanteer word.
  • Tangent: `n Termyn toegepas op lyne, vliegtuie en vorms wat by een oneindig klein punt sny. In Apolloniese gaskets verwys dit na die feit dat elke sirkel op slegs een punt elke nabygeleë sirkel raak. Let daarop dat daar geen kruising is nie - Tangent vorms oorvleuel nie.
  • Beeld getiteld Skep `n Apollonian Gasket Stap 2
    2. Verstaan ​​Descartes se stelling.Descartes se stelling is `n formule wat nuttig is vir die berekening van die groottes van die sirkels in `n Apolloniese pakking. As ons die krommature (1 / R) van enige drie sirkels definieer as n, b, en c, Onderskeidelik verklaar die stelling dat die kromming van die sirkel (of sirkels) Tangent aan al drie, wat ons sal definieer as d, is: D = A + B + C ± 2 (SQRT (A × B + B × C + C × a)).
  • Vir ons doeleindes gebruik ons ​​gewoonlik slegs die antwoord wat ons kry deur `n plus -teken voor die vierkantswortel te plaas (met ander woorde, ... + 2 (SQRT (...)). Vir nou is dit genoeg om te weet dat die aftrekvorm van die vergelyking sy gebruike in ander verwante take het.
    • Deel 2 van 2:
    Konstruksie van die Apolloniese pakking

    Apolloniese gaskets neem die vorm van pragtige fraktale reëlings van krimpende sirkels. Wiskundig het Apolloniese gaskets oneindige kompleksiteit, maar of jy `n rekenaartekenprogram of tradisionele tekengereedskap gebruik, sal jy uiteindelik `n punt bereik waarop dit onmoontlik is om sirkels kleiner te teken. Let daarop dat hoe presies jy jou sirkels teken, hoe meer sal jy in jou pakking kan pas.

    1. Beeld getiteld Skep `n Apollonian Gasket Stap 3
    1. Versamel jou digitale of analoog tekengereedskap. In die onderstaande stappe sal ons ons eie eenvoudige Apolloniese pakking maak. Dit is moontlik om Apolloniese gaskets met die hand of op die rekenaar te teken. In beide gevalle wil jy perfek ronde sirkels kan teken. Dit is redelik belangrik. Aangesien elke sirkel in `n Apolloniese pakking perfek raak aan die sirkels langsaan, kan sirkels wat selfs effens misloop "gooi af" Jou finale produk.
    • As jy die pakking op `n rekenaar teken, benodig jy `n program wat jou toelaat om maklik sirkels van `n vaste radius van `n sentrale punt te teken. GFIG, `n vektor-tekening uitbreiding vir die gratis beeldveranderingsprogram GIMP, kan gebruik word, asook `n wye verskeidenheid ander tekenprogramme (sien die materiaalafdeling vir relevante skakels). U sal ook waarskynlik `n sakrekenaarprogram benodig en `n woordverwerkerdokument of `n fisiese notaboek vir aantekeninge oor krommings en radii.
    • Om die pakking met die hand te teken, sal jy `n sakrekenaar benodig (wetenskaplike of grafiek wat voorgestel word), `n potlood, kompas, liniaal (verkieslik `n skaal met millimetermerke, grafiekpapier en `n notaboek vir aantekening neem.
  • Beeld getiteld Skep `n Apollonian Gasket Stap 4
    2. Begin met een groot sirkel. Jou eerste taak is maklik - teken net een groot, perfek ronde sirkel. Hoe groter die sirkel is, hoe meer kompleks kan jou pakking wees, so probeer om `n sirkel so groot te maak soos wat jou papier toelaat of so groot as wat jy maklik in een venster op jou tekenprogram kan sien.
  • Beeld getiteld Skep `n Apollonian Gasket Stap 5
    3. Skep `n kleiner sirkel in die oorspronklike, raaklyn aan een kant. Teken dan nog `n sirkel in die eerste wat kleiner is as die oorspronklike, maar nog steeds redelik groot. Die presiese grootte van die tweede sirkel is aan jou - daar is geen korrekte grootte nie. Vir ons doeleindes, laat ons egter ons tweede sirkel teken sodat dit presies halfpad oor ons groot buitenste sirkel bereik. Met ander woorde, laat ons ons tweede sirkel teken sodat die sentrale punt die middelpunt van die groot sirkel se radius is.
  • Onthou dat in Apolloniese gaskets alle kringe wat aanraak, raak aan mekaar. As jy `n kompas gebruik om jou kringe met die hand te teken, hierdie effek te herskep deur die skerp punt van die kompas op die middelpunt van die groot Outer-sirkel se radius te plaas en jou potlood te pas sodat dit net raak die rand van die groot sirkel en teken dan jou kleiner innerlike sirkel.
  • Beeld getiteld Skep `n Apollonian Gasket Stap 6
    4. Teken `n identiese sirkel "oorkant" die kleiner binneste sirkel. Vervolgens teken ons `n ander sirkel oor van ons eerste een. Hierdie sirkel moet raak aan beide die groot buitenste sirkel en die kleiner binneste sirkel, wat beteken dat jou twee innerlike sirkels op die presiese middelpunt van die groot buitenste sirkel sal aanraak.
  • Beeld getiteld Skep `n Apollonian Gasket Stap 7
    5. Dien Descartes se stelling toe om die grootte van jou volgende kringe te vind. Kom ons stop vir `n oomblik. Noudat ons drie sirkels in ons pakking het, kan ons Descartes se stelling gebruik om die radius van die volgende sirkel te vind wat ons sal teken. Onthou dat Descartes se stelling is D = A + B + C ± 2 (SQRT (A × B + B × C + C × a)), Waar A, B, en C die krommature van jou drie raaklyn kringe is en D die kromming van die sirkel raak aan al drie. So, om die radius van ons volgende sirkel te vind, kom ons vind die kromming van elk van die sirkels wat ons tot dusver het sodat ons die kromming van die volgende sirkel kan vind, dan omskep dit na sy radius.
  • Kom ons definieer die radius van ons buitenste sirkel as 1. Omdat die ander kringe binne hierdie een is, gaan ons met sy binneste kromming (eerder as sy uiterlike kromming), en gevolglik weet ons dat sy kromming negatief is. - 1 / r = -1/1 = -1. Die groot sirkel se kromming is -1.
  • Die kleiner sirkels se radii is half so groot soos die groot sirkel, of met ander woorde, 1/2. Aangesien hierdie kringe mekaar aanraak en die groot sirkel met hul buitekant het, het ons te doen met hulle buitekant kromming, dus is hul krommasies positief. 1 / (1/2) = 2. Die kleiner sirkels se krommings is albei 2.
  • Nou weet ons dat a = -1, b = 2, en c = 2 vir ons descartes se stellingvergelyking. Kom ons los vir D:
  • D = A + B + C ± 2 (SQRT (A × B + B × C + C × a))
  • D = -1 + 2 + 2 ± 2 (SQRT (-1 × 2 + 2 × 2 + 2 × -1))
  • D = -1 + 2 + 2 ± 2 (SQRT (-2 + 4 + -2))
  • D = -1 + 2 + 2 ± 0
  • D = -1 + 2 + 2
  • d = 3. Die kromming van ons volgende sirkel is 3. Sedert 3 = 1 / r is die radius van ons volgende sirkel 1/3.
  • Beeld getiteld Skep `n Apollonian Gasket Stap 8
    6. Skep jou volgende stel sirkels. Gebruik die radiuswaarde wat jy net gevind het om jou volgende twee sirkels te teken. Onthou dat dit raaklyn sal wees aan die sirkels wie se kromming jy vir A, B en C in Descartes se stelling gebruik het. Met ander woorde, hulle sal gevang word aan beide die oorspronklike en tweede sirkels. Vir hierdie kringe moet aan al drie sirkels raaklyn wees, moet jy hulle in die oop ruimtes in die boonste en onderkant van die gebied in jou groot oorspronklike sirkel teken.
  • Onthou dat hierdie sirkels se radii gelyk sal wees aan 1/3. Meet 1/3 terug van die rand van die buitenste sirkel, teken dan jou nuwe sirkel. Dit moet raak aan al drie die omliggende sirkels.
  • Beeld getiteld Skep `n Apollonian Gasket Stap 9
    7. Voer op hierdie manier voort om voort te gaan om sirkels by te voeg. Omdat hulle fraktale is, is Apollonian Gaskets oneindig kompleks. Dit beteken dat jy kleiner en kleiner sirkels kan toevoeg tot jou hart se inhoud. U is beperk slegs die presisie van u gereedskap (of as u `n rekenaar gebruik, die vermoë van u tekenprogram aan "inzoomen"). Elke sirkel, maak nie saak hoe klein nie, moet raak aan drie ander kringe. Om elke daaropvolgende sirkel in jou pakking te teken, steek die krommature van die drie sirkels aan, dit sal gevang word tot in Descartes se stelling. Gebruik dan jou antwoord (wat die radius van jou nuwe sirkel sal wees) om jou nuwe kring akkuraat te teken.
  • Let daarop dat die pakking wat ons gekies het om te teken is simmetries, dus die radius van een sirkel is dieselfde as die ooreenstemmende sirkel "oor daaruit". Weet egter dat nie elke Apolloniese pakking simmetries is nie.
  • Kom ons pak nog een voorbeeld aan. Kom ons sê dat ons, nadat ons ons laaste stel sirkels geteken het, nou die kringe wat aan ons derde stel is, ons tweede stel en ons groot buitenste sirkel te teken. Die krommings van hierdie kringe is onderskeidelik 3, 2, en -1. Kom ons koppel hierdie nommers in Descartes se stelling, stel A = -1, B = 2, en C = 3 in:
  • D = A + B + C ± 2 (SQRT (A × B + B × C + C × a))
  • D = -1 + 2 + 3 ± 2 (SQRT (-1 × 2 + 2 × 3 + 3 × -1))
  • D = -1 + 2 + 3 ± 2 (SQRT (-2 + 6 + -3))
  • D = -1 + 2 + 3 ± 2 (SQRT (1))
  • D = -1 + 2 + 3 ± 2
  • d = 2, 6. Ons het twee antwoorde! Maar omdat ons weet dat ons nuwe sirkel kleiner sal wees as enige van die sirkels wat dit raak, is dit net `n kromming van 6 (en dus `n radius van 1/6) maak sin.
  • Ons ander antwoord, 2, verwys eintlik na die hipotetiese sirkel op die anderkant van die raakpunt van ons tweede en derde sirkels. Hierdie sirkel is Tangent aan albei van hierdie sirkels en aan die groot buitenste sirkel, maar dit sal die sirkels sny wat ons reeds getrek het, sodat ons dit kan verontagsaam.
  • Beeld getiteld Skep `n Apollonian Gasket Stap 10
    8. Vir `n uitdaging, probeer om `n nie-simmetriese Apolloniese pakking te maak deur die grootte van jou tweede sirkel te verander. Alle Apolloniese pakkies begin dieselfde - met `n groot buitekring wat as die rand van die fraktale optree. Daar is egter geen rede dat jou tweede sirkel noodwendig nie het Om 1/2 die radius van die eerste te hê - het ons net gekies om dit hierbo te doen omdat dit eenvoudig en maklik is om te verstaan. Probeer vir die pret `n nuwe pakking met `n tweede sirkel van `n ander grootte - dit sal lei tot opwindende nuwe eksplorasie.
  • Na die teken van jou tweede sirkel (ongeag die grootte daarvan), moet jou volgende handeling wees om een ​​of meer sirkels te teken wat tangent is en aan die groot buitenste sirkel - daar is geen regte manier om dit te doen nie, hetsy. Hierna kan u Descartes se stelling gebruik om die radius van enige daaropvolgende kringe te bepaal, soos hierbo getoon.

    • Wenke

    Deel op sosiale netwerke:
    Soortgelyk