Hoe om eksponensiële funksies te onderskei

Eksponensiële funksies is `n spesiale kategorie funksies wat eksponente wat veranderlikes of funksies is, behels. Met behulp van sommige van die basiese reëls van die berekening, kan jy begin deur die afgeleide van `n basiese funksies te vind $n x$ $a ^ {x}$ . Dit bied dan `n vorm wat u kan gebruik vir enige numeriese basis wat op `n veranderlike eksponent verkry word. Uitbreiding van hierdie werk, kan u ook die afgeleide funksies vind waar die eksponent self `n funksie is. Ten slotte sal jy sien hoe om die "kragtoring" te onderskei, `n spesiale funksie waarin die eksponent die basis pas.

Stappe

Deel 1 van 4:

Onderskeidende algemene eksponensiële funksies

1. Begin met `n algemene eksponensiële funksie. Begin met `n basiese eksponensiële funksie met behulp van `n veranderlike as die basis. Deur die afgeleide van die algemene funksie op hierdie manier te bereken, kan u die oplossing as model vir `n volledige gesin van soortgelyke funksies gebruik.

$y = n x$ $y = a ^ {{x}}$

2. Neem die natuurlike logaritme van albei kante. U moet die funksie manipuleer om te help om `n standaard afgeleide in terme van die veranderlike te vind

x

$x$ . Dit begin deur die natuurlike logaritme van albei kante te neem, soos volg:

\ln y = \ln n x

$ln y = ln a ^ {{x}}$

3. Elimineer die eksponent. Deur die reëls van logaritmes te gebruik, kan hierdie vergelyking vereenvoudig word om die eksponent uit te skakel. Die eksponent binne die logaritme-funksie kan as `n veelvoud voor die logaritme verwyder word, soos volg:

\ln y = x \ln n

$ln y = x ln a$

4. Differensieer albei kante en vereenvoudig. Die volgende stap is om elke kant te onderskei met betrekking tot

x

$x$ . Omdat

n

$n$ is `n konstante, dan

\ln n

$n$ is ook `n konstante. Die afgeleide van

x

$x$ vereenvoudig tot 1, en die term verdwyn. Die stappe is soos volg:

\ln y = x \ln n

$ln y = x ln a$

d d x \ln y = d d x x \ln n

${ frac {d} {dx}} ln y = { frac {d} {dx}} x ln a$

\frac{1}{y} d y d x = \ln n d d x x

${ frac {1} {y}} { frac {dy} {dx}} = {ln a ( frac {d} {dx}} x$

\frac{1}{y} d y d x = \ln n * 1

${ frac {1} {y}} { frac {dy} {dx}} = ln a * 1$

\frac{1}{y} d y d x = \ln n

${ frac {1} {y}} { frac {dy} {dx}} = ln a$

5. Vereenvoudig om op te los vir die afgeleide. Vermenigvuldig albei kante deur Y om die afgeleide te isoleer. Die gebruik van basiese stappe van algebra, vermenigvuldig beide kante van hierdie vergelyking deur

y

$y$ . Dit sal die afgeleide van die afgeleide isoleer

y

$y$ aan die linkerkant van die vergelyking. Onthou dit dan

y = n x

$y = a ^ {x}$ , So vervang die waarde aan die regterkant van die vergelyking. Die stappe lyk soos volg:

\frac{1}{y} d y d x = \ln n

${ frac {1} {y}} { frac {dy} {dx}} = ln a$

d y d x = y \ln n

${ frac {dy} {dx}} = y ln a$

d y d x = n^{x} \ln n

${ frac {dy} {dx}} = a ^ {x} ln a$

6. Interpreteer die finale uitslag. Herinner dat die oorspronklike funksie die eksponensiële funksie was

y = n x

$y = a ^ {x}$ , Hierdie oplossing toon dat die afgeleide van die algemene eksponensiële funksie is

n x \ln n

$a ^ {x} ln a$ .

Dit kan uitgebrei word vir enige waarde van

n

$n$ , Soos in die volgende voorbeelde:

d d x 2^{x} = 2^{x} \ln 2

${ frac {d} {dx}} 2 ^ {x} = 2 ^ {x} ln 2$

d d x 3^{x} = 3^{x} \ln 3

${ frac {d} {dx}} 3 ^ {x} = 3 ^ {x} ln 3$

d d x 10^{x} = 10^{x} \ln 10

${ frac {d} {dx}} 10 ^ {x} = 10 ^ {x} ln 10$

Deel 2 van 4:

Uitbreiding van die bewys vir die afgeleide van e

1. Kies die spesiale voorbeeld. Die voorafgaande afdeling het getoon hoe om die algemene geval van `n eksponensiële funksie te onderskei met enige konstante as die basis. Kies dan die spesiale geval waar die basis die eksponensiële konstante is

e

$e$ .

$e$ $e$ is die wiskundige konstante wat ongeveer gelyk is aan 2.718.
Vir hierdie afleiding, kies die spesiale funksie $y = e x$ $y = e ^ {x}$ .

2. Gebruik die bewys van die algemene eksponensiële funksie afgeleide. Onthou, vanaf die voorafgaande afdeling, dat die afgeleide van `n algemene eksponensiële funksie

n x

$a ^ {x}$ is

n x \ln n

$a ^ {x} ln a$ . Dien hierdie resultaat toe op die spesiale funksie

e x

$E ^ {x}$ soos volg:

y = e x

$y = e ^ {x}$

d y d x = d d x e^{x}

${ frac {dy} {dx}} = { frac {d} {dx}} e ^ {x}$

d y d x = e^{x} \ln e

${ frac {dy} {dx}} = e ^ {x} lnn$

3. Vereenvoudig die resultaat. Onthou dat die natuurlike logaritme gebaseer is op die spesiale konstante

e

$e$ . Daarom, die natuurlike logaritme van

e

$e$ is net 1. Dit vereenvoudig die afgeleide resultaat soos volg:

d y d x = e^{x} \ln e

${ frac {dy} {dx}} = e ^ {x} lnn$

d y d x = e^{x} * 1

${ frac {dy} {dx}} = e ^ {x} * 1$

d y d x = e^{x}

${ frac {dy} {dx}} = e ^ {x}$

4. Interpreteer die finale uitslag. Hierdie bewys lei tot die spesiale geval dat die afgeleide van die funksie

e x

$E ^ {x}$ Is dit baie funksioneer self. So:

d d x e^{x} = e^{x}

${ frac {d} {dx}} e ^ {x} = e ^ {x}$

Deel 3 van 4:

Vind die afgeleide van E met `n funksionele eksponent

1. Definieer jou funksie. Vir hierdie voorbeeld vind u die algemene afgeleide van funksies wat dit het

e

$e$ opgewek na `n eksponent, wanneer die eksponent self `n funksie is van

x

$x$ .

As voorbeeld, oorweeg die funksie $y = e 2 x + 3$ $y = e ^ {{2x + 3}}$ .

2. Definieer die veranderlike u { displaystyle u} $u$ . Hierdie oplossing gaan die kettingreël van afgeleides betrek. Onthou dat die kettingreël van toepassing is wanneer u een funksie het,

u (x)

$u (x)$ in `n ander gejaag,

f (x)

$f (x)$ , Soos u hier het. Die kettingreël sê:

d y d x = d y d u * d u d x

${ frac {dy} {dx}} { frac {dy} {du}} * { frac {du} {dx}}$

Samevattend sal u die eksponent as `n afsonderlike funksie definieer

u (x)

$u (x)$ .

Vir hierdie voorbeeld is die eksponent die geneste funksie

u (x)

$u (x)$ . Dus, vir hierdie voorbeeld:

y = e u

$y = e ^ {u}$ , en

u = 2 x + 3

$u = 2x + 3$

3. Pas die kettingreël toe. Die kettingreël vereis dat u die afgeleides van beide funksies moet vind

y

$y$ en

u

$u$ . Die gevolglike afgeleide is dan die produk van die twee.

Die twee afsonderlike afgeleides is:

d y d u = d d u e^{u} = e^{u}

${ displaystyle { frac {dy} {du}} = { frac {d} {du}} e ^ u {u} e ^ {u}}$ . (Onthou dat die afgeleide van

e x

$E ^ {x}$ is

e x

$E ^ {x}$ .)

d u d x = d d x (2 x + 3) = 2

${ frac {du} {dx}} { frac {d} {dx}} (2x + 3) = 2$

Nadat u die twee afsonderlike afgeleides gevind het, kombineer hulle om die afgeleide van die oorspronklike funksie te vind:

d y d x = d y d u * d u d x

${ frac {dy} {dx}} { frac {dy} {du}} * { frac {du} {dx}}$

d d x e^{2 x + 3} = e^{(2 x + 3)} * 2 = 2 e^{(2 x + 3)}

${ frac {d} {dx}} ^ {{2x + 3}} = e ^ {{(2x + 3)}} * 2 = 2e ^ {{(2x + 3)}}$

4. Beoefen nog `n voorbeeld van e { displaystyle e} $e$ met `n funksionele eksponent. Kies `n ander voorbeeld,

y = e sonde x

$y = e ^ { sin x}}$ .

Definieer die geneste funksie. In hierdie geval,

u = sonde x

$U = sonde X$ .

Vind die afgeleides van die funksies

y

$y$ en

u

$u$ .

d y d u = e^{u}

${ frac {dy} {du}} = e ^ {u}$

d u d x = ontsyf kanter x

${ frac {du} {dx}} = cos x$

Kombineer met behulp van die kettingreël:

y = e sonde x

$y = e ^ { sin x}}$

d y d x = d y d u * d u d x

${ frac {dy} {dx}} { frac {dy} {du}} * { frac {du} {dx}}$

d d x e^{sonde x} = e^{u} * ontsyf kanter x = e^{sonde x} ontsyf kanter x

${ frac {d} {dx}} ^ { sin x}} = e ^ {u} * cos x = e ^ {{ sin x}} cos x$

Deel 4 van 4:

Vind die afgeleide van x

1. Definieer die funksie. Vir hierdie spesiale voorbeeld, wat soms die "kragtoring" genoem word, kies die funksie soos:

$y = x x$ $y = x ^ {x}$

2. Vind die natuurlike logaritme van elke kant. Soos voorheen begin die oplossing hier met die natuurlike logaritme van elke kant van die vergelyking:

\ln y = \ln (x x)

$ln y = ln (x ^ {x})$

\ln y = x \ln x

$ln y = x ln x$

3. Neem die afgeleide van elke kant van die vergelyking. Aan die regterkant van hierdie vergelyking moet u die produkreël van afgeleides toepas. Onthou dat die produkreël bepaal dat indien