Hoe om die inverse van `n 3x3-matriks te vind

Inverse operasies word algemeen in Algebra gebruik om te vereenvoudig wat anders kan wees. Byvoorbeeld, as `n probleem vereis dat jy deur `n breuk verdeel word, kan jy makliker vermenigvuldig deur sy wederkerige. Dit is `n inverse operasie. Net so, aangesien daar geen verdelingsoperateur vir matrikse is nie, moet jy met die inverse matriks vermenigvuldig. Berekening van die inverse van `n 3x3-matriks met die hand is `n vervelige werk, maar die moeite werd om te hersien. U kan ook die inverse vind deur `n gevorderde grafiese sakrekenaar te gebruik.

Stappe

Metode 1 van 3:
Die skep van die Abugtige Matrix om die inverse matriks te vind
  1. Beeld getiteld vind die inverse van `n 3x3 matriks stap 1
1. Gaan die determinant van die matriks na. U moet die determinant van die matriks bereken as `n aanvanklike stap. As die determinant 0 is, is u werk klaar, want die matriks het geen omgekeerde nie. Die determinant van matriks M kan simbolies voorgestel word soos DET (M).
  • Beeld getiteld Vind die inverse van `n 3x3 matriks stap 2
    2. Transponeer die oorspronklike matriks. Transposing beteken om die matriks te weerspieël oor die hoof diagonaal, of ekwivalent, die ruil van die (i, j) th element en die (j, i) th. Wanneer u die terme van die matriks omskep, moet u sien dat die hoof diagonaal (van links na links regs) onveranderd is.
  • Nog `n manier om te dink om te keer dat jy die eerste ry as die eerste kolom herskryf, word die middelste ry die middelste kolom, en die derde ry word die derde kolom. Let op die gekleurde elemente in die diagram hierbo en kyk waar die getalle posisie verander het.
  • Beeld getiteld Vind die inverse van `n 3x3 matriks stap 3
    3. Vind die determinant van elk van die 2x2-geringe matrikse. Elke item van die nuutgeskepe 3x3-matriks word geassosieer met `n ooreenstemmende 2x2 "minderjarige" matriks. Om die regte klein matriks vir elke kwartaal te vind, merk eers die ry en kolom van die termyn wat u begin met. Dit moet vyf terme van die matriks insluit. Die oorblywende vier terme maak die klein matriks op.
  • In die voorbeeld hierbo getoon, indien u die minderjarige matriks van die term in die tweede ry wil hê, die eerste kolom, beklemtoon u die vyf terme wat in die tweede ry en die eerste kolom is. Die oorblywende vier terme is die ooreenstemmende klein matriks.
  • Vind die determinant van elke klein matriks deur die diagonale te vermenigvuldig en af ​​te trek, soos aangedui.
  • Vir meer op klein matrikse en hul gebruike, sien Verstaan ​​die basiese beginsels van matrikse.
  • Beeld getiteld vind die inverse van `n 3x3 matriks stap 4
    4. Skep die matriks van kofaktore. Plaas die resultate van die vorige stap in `n nuwe matriks van kofaktore deur elke kleiner matriksbeperking met die ooreenstemmende posisie in die oorspronklike matriks te pas. Dus, die determinant wat jy bereken uit item (1,1) van die oorspronklike matriks in posisie (1,1). U moet dan die teken van afwisselende terme van hierdie nuwe matriks omkeer, na aanleiding van die "Checkerboard" -patroon wat getoon word.
  • By die toekenning van tekens hou die eerste element van die eerste ry sy oorspronklike teken. Die tweede element is omgekeer. Die derde element hou sy oorspronklike teken. Gaan voort met die res van die matriks op hierdie manier. Let daarop dat die (+) of (-) tekens in die tjekborddiagram nie daarop dui dat die finale termyn positief of negatief moet wees nie. Hulle is aanwysers om te hou (+) of omkeer (-) enige teken wat die nommer oorspronklik gehad het.
  • Vir `n oorsig van kofaktore, sien Verstaan ​​die basiese beginsels van matrikse.
  • Die finale uitslag van hierdie stap word die Averugtige Matrix van die oorspronklike genoem. Dit word soms na verwys as die aangrensende matriks. Die Abugtige Matrix word opgemerk as adj (m).
  • Beeld getiteld vind die inverse van `n 3x3 matriks stap 5
    5. Verdeel elke termyn van die Abugtige matriks deur die determinant. Onthou die determinant van M wat jy in die eerste stap bereken het (om seker te maak dat die inverse moontlik was). U verdeel nou elke term van die matriks deur die waarde. Plaas die resultaat van elke berekening in die plek van die oorspronklike termyn. Die resultaat is die inverse van die oorspronklike matriks.
  • Vir die monstermatriks wat in die diagram getoon word, is die determinant 1. Daarom lei elke termyn van die Absugtige Matrix in die Abugtige Matrix self. (Jy sal nie altyd so gelukkig wees nie.)
  • In plaas van te verdeel, verteenwoordig sommige bronne hierdie stap as vermenigvuldiging van elke kwartaal van M by 1 / det (m). Wiskundig is dit ekwivalent.
    • Metode 2 van 3:
    Gebruik lineêre ryvermindering om die inverse matriks te vind
    1. Beeld getiteld Vind die inverse van `n 3x3 matriks stap 6
    1. Grens aan die identiteitsmatriks aan die oorspronklike matriks. Skryf die oorspronklike matriks m uit, teken `n vertikale lyn regs daarvan, en skryf dan die identiteitsmatriks regs daarvan. U moet nou `n matriks wees met drie rye ses kolomme elk.
    • Onthou dat die identiteitsmatriks `n spesiale matriks is met 1s in elke posisie van die hoof diagonaal van boonste linkerhand na onder regs en 0s in alle ander posisies. Vir `n oorsig van die identiteitsmatriks en sy eiendomme, sien Verstaan ​​die basiese beginsels van matrikse.
  • Beeld getiteld vind die inverse van `n 3x3 matriks stap 7
    2. Voer lineêre ryverminderingsbedrywighede uit. Jou doel is om die identiteitsmatriks aan die linkerkant van hierdie nuutgevogte matriks te skep. Aangesien u ryverminderingstappe aan die linkerkant uitvoer, moet u konsekwent dieselfde bedrywighede aan die regterkant uitvoer, wat begin het as u identiteitsmatriks.
  • Onthou dat ryvermindering uitgevoer word as `n kombinasie van skalaarvermenigvuldiging en ry byvoeging of aftrekking om individuele terme van die matriks te isoleer. Vir `n meer volledige resensie, sien Ry-verminder matrikse.
  • Beeld getiteld vind die inverse van `n 3x3 matriks stap 8
    3. Gaan voort totdat jy die identiteitsmatriks vorm. Hou die herhaling van lineêre ryverminderingsbedrywighede totdat die linkerkant van u aangevulde matriks die identiteitsmatriks (diagonaal van 1s, met ander terme 0) vertoon. Wanneer u hierdie punt bereik het, sal die regterkant van u vertikale verdeler die inverse van u oorspronklike matriks wees.
  • Beeld getiteld vind die inverse van `n 3x3 matriks stap 9
    4. Skryf die inverse matriks uit. Kopieer nou die elemente wat nou aan die regterkant van die vertikale verdeler verskyn as die inverse matriks.
    • Metode 3 van 3:
    Gebruik `n sakrekenaar om die inverse matriks te vind
    1. Beeld getiteld vind die inverse van `n 3x3 matriks stap 10
    1. Kies `n sakrekenaar met Matrix-vermoëns. Eenvoudige 4-funksie sakrekenaars sal jou nie kan help om die inverse te vind nie. As gevolg van die herhalende aard van die berekeninge, kan `n gevorderde grafiese sakrekenaar, soos die Texas-instrumente TI-83 of TI-86, egter die werk aansienlik verminder.
  • Beeld getiteld vind die inverse van `n 3x3 matriks stap 11
    2. Tik jou matriks in die sakrekenaar. Voer eers jou sakrekenaar se matriksfunksie in deur die Matrix-sleutel te druk, as jy een het. Op die Texas-instrumente-sakrekenaars moet jy 2 matriks druk.
  • Beeld getiteld vind die inverse van `n 3x3 matriks stap 12
    3. Kies die Edit Submenu. Om die submenu te bereik, moet u die pyltjie knoppies gebruik of die toepaslike funksie sleutel bo-aan u sakrekenaar se sleutelbord kies, afhangende van die uitleg van u sakrekenaar.
  • Beeld getiteld vind die inverse van `n 3x3 matriks stap 13
    4. Kies `n naam vir jou matriks. Die meeste sakrekenaars is toegerus om met enige plek van 3 tot 10 matrikse te werk, met letters A deur J gemerk. Tipies, kies net [a] om mee te werk. Raak die Enter-sleutel nadat jy jou keuse gemaak het.
  • Beeld getiteld vind die inverse van `n 3x3 matriks stap 14
    5. Voer die afmetings van jou matriks in. Hierdie artikel fokus op 3x3-matrikse. Die sakrekenaar kan egter groter groottes hanteer. Voer die aantal rye in, druk dan Enter, en dan die aantal kolomme en betree.
  • Beeld getiteld vind die inverse van `n 3x3 matriks stap 15
    6. Voer elke element van die matriks in. Die Sakrekenaarskerm sal `n matriks wys. As u voorheen met die Matrix-funksie gewerk het, sal die vorige matriks op die skerm verskyn. Die wyser sal die eerste element van die matriks beklemtoon. Tik die waarde van die matriks wat u wil oplos, en dan in te voer. Die wyser sal outomaties na die volgende element van die matriks beweeg, wat enige vorige getalle oorskryf.
  • As u `n negatiewe getal wil invoer, gebruik u sakrekenaar se negatiewe knoppie (-) en nie die minus-sleutel nie. Die matriksfunksie sal nie die nommer behoorlik lees nie.
  • Indien nodig, kan u u sakrekenaar se pyltjie sleutels gebruik om die matriks te spring.
  • Beeld getiteld vind die inverse van `n 3x3 matriks stap 16
    7. Stop die matriksfunksie. Nadat u al die waardes van die matriks ingeskryf het, druk die ophou sleutel (of 2 ophou, indien nodig). Dit sal jou van die matriksfunksie verlaat en jou terugbesorg na die hoofskerm van jou sakrekenaar.
  • Beeld getiteld Vind die inverse van `n 3x3 matriks stap 17
    8. Gebruik die inverse sleutel om die inverse matriks te vind. Eerstens, heropen die matriksfunksie en gebruik die name knoppie om die matriksetiket te kies wat jy gebruik het om jou matriks te definieer (waarskynlik [a]). Druk dan jou sakrekenaar se inverse sleutel, x-1{ displaystyle x ^ {- 1}}x ^ {{- 1}}. Dit kan nodig wees om die 2-knoppie te gebruik, afhangende van jou sakrekenaar. Jou skerm vertoon moet wys N-1{ displaystyle a ^ {- 1}}A ^ {{{1}}. Druk Enter, en die inverse matriks moet op jou skerm verskyn.
  • Moenie die knoppie op u sakrekenaar gebruik om `n ^ -1 as afsonderlike toetsaanslag te probeer betree nie. Die sakrekenaar sal nie hierdie operasie verstaan ​​nie.
  • As u `n foutboodskap ontvang wanneer u die omgekeerde sleutel betree, is die kans dat u oorspronklike matriks nie `n inverse het nie. U kan dalk teruggaan en die determinant bereken om uit te vind.
  • Beeld getiteld vind die inverse van `n 3x3 matriks stap 18
    9. Omskep jou inverse matriks na presiese antwoorde. Die eerste berekening wat die sakrekenaar jou sal gee, is in desimale vorm. Dit word nie vir die meeste doeleindes "presies" beskou nie. U moet die desimale antwoorde op breukvorm omskep, soos nodig. (As jy baie gelukkig is, sal al jou resultate heelgetalle wees, maar dit is skaars.)
  • Jou sakrekenaar het waarskynlik `n funksie wat outomaties die desimale na breuke sal omskep. Byvoorbeeld, met behulp van die TI-86, tik die wiskunde funksie, kies dan Misc, en dan Frac, en betree. Die desimale sal outomaties as breuke verskyn.
  • Beeld getiteld bereken totale koste Stap 1
    10. Die meeste grafiese sakrekenaars het ook vierkantige bracket sleutels (op TI-84 dit is 2de + x en 2de + -) wat gebruik kan word om `n matriks in te tik sonder om die matriksfunksie te gebruik. LET WEL: Die sakrekenaar sal nie die matriksformatiseer tot nadat die Enter / Gelyke sleutel gebruik is nie (i.e. Alles sal een reël wees en nie mooi nie).

    • Video

    Deur hierdie diens te gebruik, kan sommige inligting met YouTube gedeel word.

    Wenke

    U kan hierdie stappe volg om die inverse van `n matriks te vind wat nie net getalle bevat nie, maar ook veranderlikes, onbekendes of selfs algebraïese uitdrukkings.
  • Kontroleer dat u resultaat akkuraat is, watter metode u ook al kies, deur vermenigvuldiging M by m. U moet dit kan verifieer dat M * M = M * M = I. Ek is die identiteitsmatriks, bestaande uit 1s langs die hoof diagonaal en 0s elders. Indien nie, het u iewers `n fout gemaak.
  • Skryf al jou stappe neer, want dit is uiters moeilik om die inverse van `n 3x3-matriks in jou kop te vind.
  • Rekenaarprogramme bestaan ​​wat die inverses van matrikse vir u uitwerk, tot en met die grootte van 30x30 matrikse.

    • Waarskuwings

    Nie alle 3x3-matrikse het inverses nie. As die determinant van die matriks gelyk is aan 0, dan het dit nie `n inverse nie. (Let daarop dat in die formule ons verdeel deur DET (M). Afdeling deur nul is nie gedefinieer nie.)
    Deel op sosiale netwerke:
    Soortgelyk