Hoe om die hoek tussen twee vektore te vind: 12 stappe

In wiskunde is `n vektor enige voorwerp wat `n definieerbare lengte het, bekend as grootte en rigting. Aangesien vektore nie dieselfde is as standaard lyne of vorms nie, moet u spesiale formules gebruik om hoeke tussen hulle te vind.

Stappe

Deel 1 van 2:

Vind die hoek tussen twee vektore

1. Skryf die cosinus formule neer. Om die hoek θ tussen twee vektore te vind, begin met die formule vir die vind van die hoek se cosinus. U kan hieronder leer oor hierdie formule, of skryf dit net neer:

cosθ = ( $\vec{u}$ ${ oortreearrow {u}}$ • $\vec{vas}$ ${ oortreearrow {v}}$ ) / (| $\vec{u}$ ${ oortreearrow {u}}$ | | $\vec{vas}$ ${ oortreearrow {v}}$ |)

\vec{u}

${ oortreearrow {u}}$ | beteken "die lengte van die vektor

\vec{u}

${ oortreearrow {u}}$ ."

\vec{u}

${ oortreearrow {u}}$ •

\vec{vas}

${ oortreearrow {v}}$ is die punt produk (skalaar produk) van die twee vektore, verduidelik hieronder.

Image getiteld Vind die hoek tussen twee vektore Stap 1

2. Identifiseer die vektore. Skryf al die inligting neer wat u aangaande die twee vektore het. Ons sal aanvaar dat u slegs die vektor se definisie het in terme van sy dimensionele koördinate (ook bekend as komponente). As jy reeds `n vektorlengte (sy grootte) ken, sal jy `n paar van die onderstaande stappe kan oorskiet.

Voorbeeld: Die tweedimensionele vektor

\vec{u}

${ oortreearrow {u}}$ = (2,2). Vektor

\vec{vas}

${ oortreearrow {v}}$ = (0,3). Dit kan ook geskryf word as

\vec{u}

${ oortreearrow {u}}$ = 2ek + 2j en

\vec{vas}

${ oortreearrow {v}}$ = 0ek + 3j = 3j.

Terwyl ons voorbeeld tweedimensionele vektore gebruik, dek die instruksies hieronder vektore met enige aantal komponente.

Beeld getiteld Vind die hoek tussen twee vektore Stap 3

3. Bereken die lengte van elke vektor. Beeld `n regte driehoek getrek uit die vektor se x-komponent, sy y-komponent, en die vektor self. Die vektor vorm die skuinssy van die driehoek, om sy lengte te vind wat ons die Pythagorese stelling gebruik. Soos dit blyk, word hierdie formule maklik uitgebrei na vektore met enige aantal komponente.

|u| = u₁ + u₂. As `n vektor meer as twee komponente het, bly eenvoudig by die byvoeging van + u₃ + u₄ + ...

Daarom, vir `n tweedimensionele vektor, |u| = √ (u₁ + u₂).

In ons voorbeeld, |

\vec{u}

${ oortreearrow {u}}$ | = √ (2 + 2) = √ (8) = 2√2. |

\vec{vas}

${ oortreearrow {v}}$ | = √ (0 + 3) = √ (9) = 3.

Beeld getiteld Vind die hoek tussen twee vektore Stap 4

4. Bereken die puntproduk van die twee vektore. U het waarskynlik reeds hierdie metode geleer om vektore te vermenigvuldig, ook die genoem skalaar produk.

Om die puntproduk te bereken in terme van die vektore se komponente, vermenigvuldig die komponente in elke rigting saam, voeg dan al die resultate by.

Vir rekenaargrafika-programme, sien wenke voordat jy voortgaan.

Vind dot produk voorbeeld
In wiskundige terme, $\vec{u}$ ${ oortreearrow {u}}$ • $\vec{vas}$ ${ oortreearrow {v}}$ = u₁vas₁ + u₂vas₂, waar jy = (u₁, u₂). As jou vektor meer as twee komponente het, gaan eenvoudig voort om jou by te voeg₃vas₃ + u₄vas₄...
In ons voorbeeld, $\vec{u}$ ${ oortreearrow {u}}$ • $\vec{vas}$ ${ oortreearrow {v}}$ = u₁vas₁ + u₂vas₂ = (2) (0) + (2) (3) = 0 + 6 = 6. Dit is die punt produk van vektor $\vec{u}$ ${ oortreearrow {u}}$ en $\vec{vas}$ ${ oortreearrow {v}}$ .

Beeld getiteld Vind die hoek tussen twee vektore Stap 5

5. Steek jou resultate in die formule. Onthou,

cosθ = (

\vec{u}

${ oortreearrow {u}}$ •

\vec{vas}

${ oortreearrow {v}}$ ) / (|

\vec{u}

${ oortreearrow {u}}$ | |

\vec{vas}

${ oortreearrow {v}}$ |).

Nou weet jy beide die puntproduk en die lengtes van elke vektor. Gee dit in hierdie formule om die cosinus van die hoek te bereken.

Vind cosine met punt produk en vektor lengtes
In ons voorbeeld, cosθ = 6 / (2√2

3) = 1 / √2 = √2 / 2.

Beeld getiteld Vind die hoek tussen twee vektore Stap 6

6. Vind die hoek gebaseer op die cosinus. U kan die ARCCO`s of COS-funksie op u sakrekenaar gebruik

Vind die hoek θ van `n bekende cos θ waarde.

Vir sommige resultate kan u die hoek uitwerk op grond van die Eenheidsirkel.

Vind `n hoek met cosine
In ons voorbeeld, cosθ = √2 / 2. Ingaan "ARCCOS (√2 / 2)" in jou sakrekenaar om die hoek te kry. Alternatiewelik, vind die hoek θ op die eenheidsirkel waar cosθ = √2 / 2. Dit geld vir θ = /₄ of 45º.
Om dit alles saam te stel, is die finale formule:
hoek θ = arccosien (( $\vec{u}$ ${ oortreearrow {u}}$ • $\vec{vas}$ ${ oortreearrow {v}}$ ) / (| $\vec{u}$ ${ oortreearrow {u}}$ | | $\vec{vas}$ ${ oortreearrow {v}}$ |))

Deel 2 van 2:

Definisie van die hoekformule

1. Verstaan die doel van hierdie formule. Hierdie formule is nie afgelei van bestaande reëls nie. In plaas daarvan is dit geskep as `n definisie van twee vektore se puntproduk en die hoek tussen hulle. Hierdie besluit was egter nie arbitrêr nie. Met `n blik terug na basiese meetkunde, kan ons sien waarom hierdie formule intuïtiewe en bruikbare definisies tot gevolg het.

Die onderstaande voorbeelde gebruik tweedimensionele vektore omdat dit die mees intuïtief is om te gebruik. Vektore met drie of meer komponente het eiendomme gedefinieer met die baie soortgelyke algemene gevalle formule.

Beeld getiteld Vind die hoek tussen twee vektore Stap 8

2. Hersien die wet van cosines. Neem `n gewone driehoek, met hoek θ tussen kante A en B, en teenoorgestelde kant C. Die wet van cosinus bepaal dat c = a + b -2abontsyf kanter(θ). Dit is redelik maklik van basiese meetkunde afgelei.

Beeld getiteld Vind die hoek tussen twee vektore Stap 9

3. Koppel twee vektore om `n driehoek te vorm. Skets `n paar 2D-vektore op papier, vektore

\vec{n}

${ oortreearrow {a}}$ en

\vec{b}

${ oortreearrow {b}}$ , met hoek θ tussen hulle. Teken `n derde vektor tussen hulle om `n driehoek te maak. Met ander woorde, teken vektor

\vec{c}

${ oortreearrow {c}}$ sodat

\vec{b}

${ oortreearrow {b}}$ +

\vec{c}

${ oortreearrow {c}}$ =

\vec{n}

${ oortreearrow {a}}$ . Hierdie vektor

\vec{c}

${ oortreearrow {c}}$ =

\vec{n}

${ oortreearrow {a}}$ -

\vec{b}

${ oortreearrow {b}}$ .

Beeld getiteld Vind die hoek tussen twee vektore Stap 10

4. Skryf die wet van cosinusse vir hierdie driehoek. Voeg die lengte van ons in "Vektor driehoek" kante in die wet van cosinusse:

|(A - B)| = |n| + |b| - 2|n| |b|ontsyf kanter(θ)

Beeld getiteld Vind die hoek tussen twee vektore Stap 11

5. Skryf dit met behulp van DOT-produkte. Onthou, `n dotproduk is die vergroting van een vektor wat op `n ander geprojekteer word. `N Vektor se puntproduk met self benodig geen projeksie nie, aangesien daar geen verskil in rigting is nie. Dit beteken dat

\vec{n}

${ oortreearrow {a}}$ •

\vec{n}

${ oortreearrow {a}}$ = |n|. Gebruik hierdie feit om die vergelyking te herskryf:

(

\vec{n}

${ oortreearrow {a}}$ -

\vec{b}

${ oortreearrow {b}}$ ) • (

\vec{n}

${ oortreearrow {a}}$ -

\vec{b}

${ oortreearrow {b}}$ ) =

\vec{n}

${ oortreearrow {a}}$ •

\vec{n}

${ oortreearrow {a}}$ +

\vec{b}

${ oortreearrow {b}}$ •

\vec{b}

${ oortreearrow {b}}$ - 2|n| |b|ontsyf kanter(θ)

Beeld getiteld Vind die hoek tussen twee vektore Stap 12

6. Herskryf dit in die bekende formule. Brei die linkerkant van die formule uit en vereenvoudig om die formule te bereik wat gebruik word om hoeke te vind.

\vec{n}

${ oortreearrow {a}}$ •

\vec{n}

${ oortreearrow {a}}$ -

\vec{n}

${ oortreearrow {a}}$ •

\vec{b}

${ oortreearrow {b}}$ -

\vec{b}

${ oortreearrow {b}}$ •

\vec{n}

${ oortreearrow {a}}$ +

\vec{b}

${ oortreearrow {b}}$ •

\vec{b}

${ oortreearrow {b}}$ =

\vec{n}

${ oortreearrow {a}}$ •

\vec{n}

${ oortreearrow {a}}$ +

\vec{b}

${ oortreearrow {b}}$ •

\vec{b}

${ oortreearrow {b}}$ - 2|n| |b|ontsyf kanter(θ)

\vec{n}

${ oortreearrow {a}}$ •

\vec{b}

${ oortreearrow {b}}$ -

\vec{b}

${ oortreearrow {b}}$ •

\vec{n}

${ oortreearrow {a}}$ = -2|n| |b|ontsyf kanter(θ)

-2 (

\vec{n}

${ oortreearrow {a}}$ •

\vec{b}

${ oortreearrow {b}}$ ) = -2|n| |b|ontsyf kanter(θ)

\vec{n}

${ oortreearrow {a}}$ •

\vec{b}

${ oortreearrow {b}}$ = |n| |b|ontsyf kanter(θ)

Video.

Deur hierdie diens te gebruik, kan sommige inligting met YouTube gedeel word.

Wenke

Vir `n vinnige prop en los hierdie formule op vir enige twee dimensionele vektore: cosθ = (u₁ • V₁ + u₂ • V₂) / (√ (u₁ • u₂) • √ (v₁ • V₂)).

As u op `n rekenaargrafika-program werk, gee u waarskynlik net om die rigting van die vektore, nie hul lengte nie. Neem hierdie stappe om die vergelykings te vereenvoudig en jou program te bespoedig:

Normaliseer elke vektor so die lengte word 1. Om dit te doen, verdeel elke komponent van die vektor deur die vektorlengte.

Neem die puntproduk van die genormaliseerde vektore in plaas van die oorspronklike vektore.

Sedert die lengte gelyk 1, laat die lengte terme uit jou vergelyking. Jou finale vergelyking vir die hoek is ARCCOS (

\vec{u}

${ oortreearrow {u}}$ •

\vec{vas}

${ oortreearrow {v}}$ ).

Op grond van die cosinusformule kan ons vinnig vind of die hoek akuut of stomp is. Begin met cosθ = (

\vec{u}

${ oortreearrow {u}}$ •

\vec{vas}

${ oortreearrow {v}}$ ) / (|

\vec{u}

${ oortreearrow {u}}$ | |

\vec{vas}

${ oortreearrow {v}}$ |):

Die linkerkant en regterkant van die vergelyking moet dieselfde teken (positief of negatief) hê.

Aangesien die lengtes altyd positief is, moet cosθ dieselfde teken as die puntproduk hê.

Daarom, as die punt produk positief is, is cosθ positief. Ons is in die eerste kwadrant van die eenheidsirkel, met θ < π / 2 of 90º. Die hoek is akuut.

As die puntproduk negatief is, is cosθ negatief. Ons is in die tweede kwadrant van die eenheidsirkel, met π / 2 < θ ≤ π of 90º < θ ≤ 180º. Die hoek is stomp.

Deel op sosiale netwerke: